編入勉強記録

編入勉強始めたばっかの人の日記

有限次元ベクトル空間の時の面白い定理、命題1

久しぶりです・・・・

最近もちゃんと勉強してます。特に数学中心ですが。

最近は線形代数も徐々に難しくなってきて進むのが遅くなってきてます。

遅くなってるのには微分積分も平行してやってるからっていうのもあるけど。

最近では英語もやらなくちゃいけないなぁと思い始めてるので数学の洋書で勉強でもしようかな・・・ｗ

線形代数では今、表現行列や直和に関してやっているんだけども表現行列がこれまた強者でなかなか理解できず苦労してます。

次の章が”固有値”なんで早く進みたいところです。

微分積分はラングよりももっと厳密にやりたいとかいう願望が出てきてしまってサイエンス社の笠原・微分積分をやってます。安い上に意外とわかりやすい。

ところで今日はメモ変わりに線形代数についての証明を羅列してきます。頑張って少しの知識さえあれば（多分）行間を埋めずに済むように証明を書きます。

とは言ってもベクトル空間Vの部分空間Wの基底を拡大したVの基底が存在することや、Vの任意の元はVの基底の一次結合によって表されるということくらいは既知である必要があるけど。

まず有限次元ベクトル空間の際に有用な、次元定理から

$V,W$ をベクトル空間とし、 $V$ は有限次元であるとする。そのとき、線形写像 $F:V \to W$ において

$dim(ImF)+dim(KerF)=dimV$

が成り立つ。

証明

$F$ が $V$ から $W$ への零写像の場合

任意の $v \in V$ に対して、 $F(v)=0.$

よって $KerF=V,ImF=\{0\}$ となるので、 $dimV=n$ とすると、 $dim(ImF)=0,dim(KerF)=n$ が成り立つ。

よって、 $dim(ImF)+dim(KerF)=dimV$

零写像でない場合

$dim(KerF)=s,dimV=n$ $(s\lt n)$ とする。 $KerF$ の一つの基底を $\{v_1, \cdots ,v_s\}$ とすれば、それを拡大した $V$ の基底 $\{v_1, \cdots ,v_s,u_1, \cdots ,u_r \}$ が存在する。(ただし $s+r=n$ )

もし $F$ が単射ならば、 $F(v)=0(v \in V)$ となる $v$ は $0$ に限るので $KerF=\{0\},ImF=V$ が成り立つ。

よって、 $F$ が全射のとき

$F(u_1)=w_1, \cdots , F(u_r)=w_r$

とおく。 $\{w_1, \cdots , w_r \}$ が $ImF$ の基底であることが示されれば、 $dim(ImF)=r=n-s$ となって証明が完了する。

まず、 $\{w_1, \cdots , w_r \}$ が $ImF$ の生成元であることを示す。

$v$ を $V$ の任意の元とすれば、

$v=a_1v_1+\cdots+a_sv_s+b_1u_1+\cdots+b_ru_r$

となるような実数 $a_i,b_j(i=1,\cdots,s;j=1,\cdots,r)$ が存在し、 $v_i \in KerF (i=1,\cdots,s)$ であるから、 $F(v_i)=0(i=1,\cdots,s)$ となる。よって、

$F(v)=b_1F(u_1)+\cdots+b_rF(u_r)=b_1w_1+\cdots+b_rw_r$

すなわち $ImF$ の任意の元 $F(v)$ は $w_1,\cdots,w_r$ の１次結合となる。

ゆえに $w_1,\cdots,w_r$ は $ImF$ の生成元である。

次に $w_1,\cdots,w_r$ が１次独立であることを示す。

１次独立であるための条件は、 $c_1,\cdots,c_r$ をある実数とすると、

$c_1w_1+\cdots+c_rw_r=0$

を満たす $c_1,\cdots,c_r$ は $0$ のみであることである。

さて、この左辺は $c_1F(u_1)+\cdots+c_rF(u_r)=F(c_1u_1+\cdots+c_ru_r)$ に等しいから、 $c_1u_1+\cdots+c_ru_r$ は $KerF$ に属す。

よって、 $c_1u_1+\cdots+c_ru_r$ は $KerF$ の基底 $\{v_1, \cdots ,v_s\}$ によって

$c_1u_1+\cdots+c_ru_r=d_1v_1+\cdots+d_sv_s$

と表される。ここで $d_1,\cdots,d_s$ は適当な実数。

これより、

$(-d_1)v_1+\cdots+(-d_s)v_s+c_1u_1+\cdots+c_ru_r=0$

となるが、 $v_1, \cdots ,v_s,u_1, \cdots ,u_r$ は $V$ の基底であり、１次独立であるから、 $d_1,\cdots,d_s,c_1,\cdots,c_r$ は全て $0$ でなければならない。

ゆえに、 $w_1,\cdots,w_r$ は１次独立である。したがって、 $w_1,\cdots,w_r$ は $ImF$ の一つの基底であることが証明された。

ゆえに、 $ImF$ の次元は $r=n-s$ に等しい。

証明終

$F$ を有限次元ベクトル空間 $V$ の線形変換とする。次の４つの条件は互いに同等である

$(i)V=ImF⊕KerF$

$(ii)ImF \cap KerF=\{0\}$

$(iii)KerF^{2}=KerF$

$(iv)ImF^{2}=ImF$

証明

$(i) \Rightarrow (ii)$

もし $ImF \cap KerF$ が $0$ 以外の元 $v$ を含むならば、 $v$ は

$v=v+0; v∈ImF , 0∈KerF$

$v=v+0; 0∈ImF , v∈KerF$

と２通りに表されるので、 $V$ が $ImF$ と $KerF$ の直和で表されるという仮定に反する。

よって $ImF \cap KerF=\{0\}$ でなければならない。

$(ii) \Rightarrow (iii)$

$x∈KerF^2$ とする。 $F^2(x)=0$ より、 $F(F(x))=0.$

$F(x)=v∈ImF$ とすると、 $F(v)=0$ より、 $v∈KerF.$ よって $F(x)=ImF∩KerF=\{0\}$

$F(x)=0$ より、 $KerF^2=KerF.$

$(iii) \Rightarrow (iv)$

$ImF^2⊂ImF.$ 次元定理を使うと

$dimV=dim(ImF)+dim(KerF)$

$dimV=dim(ImF^2)+dim(KerF^2)$

となる。仮定より $dim(KerF)=dim(KerF^2)$ が成り立つので

$dim(ImF)=dim(ImF^2)$

でなければならない。よって $ImF^2=ImF.$

$(iv) \Rightarrow (iii)$

先と同様。 $KerF^2⊃KerF.$ 次元定理を使うと

$dimV=dim(ImF)+dim(KerF)$

$dimV=dim(ImF^2)+dim(KerF^2)$

となる。仮定より $dim(ImF^2)=dim(ImF)$ が成り立つので

$dim(KerF)=dim(KerF^2)$

でなければならない。よって $KerF^2=KerF.$

$(ii) \Rightarrow (i)$

$\{ u_1,\cdots , u_k \} : KerF$ の基底

$\{ v_1, \cdots , v_l \} : ImF$ の基底

$ImF∩KerF=\{0\}$ より $KerF$ の基底と $ImF$ の基底の一次独立性が言える。

よって、

$\{ u_1, \cdots , u_k,v_1,\cdots ,v_l \}$ を $V$ の基底とすることができる。

よって $V=ImF⊕KerF.$

$(iii) \Rightarrow (ii)$

$y∈ImF∩KerF$ とする。 $y=0 \cap y =F(x) (\exists x \in V)$

$F^2(x)=F(F(x))=0$ より、 $x \in KerF^2 = KerF.$ また、 $y=F(x)=0$

よって $ImF \cap KerF=\{0\}$

証明終

$(iii) \Rightarrow (ii)$ の証明は $y$ が $x$ の $F$ による写像先であることに注意すればわかると思う。

次元定理の証明では松坂・線形代数を参照しました。その証明の行間を埋めて紹介という感じです。

二つ目の命題は何に使えるのかはわからないけど何か有用そう・・・。次は微分積分に関して自分に理解が曖昧なところの証明を（曖昧でなくするために）頑張って書こうと思います。それでは