編入勉強記録

編入勉強始めたばっかの人の日記

有限次元ベクトル空間の時の面白い定理、命題3

明日からテストです。
テストなんで、これ書いたらテスト勉強します・・・。面倒くさい。




※部分空間の復習
Vの部分集合Wは、次の3つの条件を満たす時、Vの部分空間と呼ぶ
1.WはVの零元\boldsymbol{0}を含む。
2.u,v \in W ならば、u+v \in W
3.\boldsymbol{0} \in Wならば、任意のc \in \mathbb{K}に対してc\boldsymbol{0} \in W


命題1
Vをベクトル空間、U,WをVの有限次元部分空間とする。
そのときU \cap W,U+Wはどちらも有限次元で、次の等式が成り立つ。
\begin{eqnarray} dim(U \cap W)+dim(U+W) = dimU + dimW \tag{1} \end{eqnarray}

証明
まず、U \cap W \subset U , W \subset U + Wが成り立つ。U,Wがそれぞれ有限次元であるので、
U \cap Wも有限次元である。(証明略)
いま、dim(U \cap W)=rとし、\{v_1,\cdots,v_r\}をU \cap Wの一つの基底とする。
\{v_1,\cdots,v_r\}を拡大して、Uの基底およびWの基底を作る。
そのとき、Uの一つの基底を\{v_1,\cdots,v_r,u_1,\cdots,u_s\}、Wの一つの基底を
\{v_1,\cdots,v_r,w_1,\cdots,w_t\}とする。ただし、dimU=r+s,dimW=r+tである。
ここで、U+Wの任意の元は、
\begin{eqnarray}v_1,\cdots,v_r,u_1,\cdots,u_s,w_1,\cdots,w_t\tag{2} \end{eqnarray}
の1次結合で表されるので、U+Wはr+s+t個の元で張られ、U+Wも有限次元で
ある。次に、そのr+s+t個の元が1次独立であることを示す。
まず、U+Wの元が1次独立であることを示すために、a_i,b_j,c_kをスカラーとして、
\displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^r a_iv_i + \sum_{j=1}^s b_ju_j +\sum_{k=1}^t c_kw_k =0 \tag{3} \end{eqnarray}
とする。これを書き直せば、
\displaystyle \begin{eqnarray} \sum_{i=1}^r a_iv_i + \sum_{j=1}^s b_ju_j = -\sum_{k=1}^t c_kw_k \tag{4} \end{eqnarray}
となる。この左辺はUに、右辺はWに属す。簡単に書くと、ある\boldsymbol{u} \in U , \boldsymbol{w} \in Wによって
\begin{eqnarray} U\ni \boldsymbol{u} = \boldsymbol{w} \in W \tag{5} \end{eqnarray}
が成り立っている。よって、この両辺はU \cap Wに属している。\boldsymbol{u} \in U \cap Wより、
ある適当なスカラーd_iによって
\begin{eqnarray} \displaystyle -\sum ^{t}_{k=1}c_{k}w_{k}=\sum ^{r}_{i=1}d_iv_i \tag{6} \end{eqnarray}
\begin{eqnarray} \displaystyle \sum ^{r}_{i=1}d_iv_i + \sum ^{t}_{k=1}c_{k}w_{k} =0 \tag{7} \end{eqnarray}
となるが、v_1,\cdots,v_r,w_1,\cdots ,w_tは1次独立であるからd_1=\cdots=d_r=0,
c_1=\cdots =c_t=0でなければならない。
(4)式において、c_1=\cdots=c_t=0であるので、右辺は0である。
v_1,\cdots,v_r,u_1,\cdots,u_sの1次独立性よりa_1=\cdots=a_r=0,b_1=\cdots=b_s=0
であるので、v_1,\cdots,v_r,u_1,\cdots,u_s,w_1,\cdots,w_tは1次独立である。
以上のことより、dim(U \cap W) =r,dim(U+W)=r+s+tであるので、
dim(U \cap W) + dim(U+W) = r+r+s+t =(r+s)+(r+t)
\begin{eqnarray} =dimU+dimW \tag{8} \end{eqnarray}
が成り立つ。
証明終


定義1
Vをベクトル空間、U_1,U_2,\cdots,U_rをVの部分空間とする。そのとき、U_1,U_2,\cdots,U_r
の和を、
\begin{eqnarray} U_1+U_2+\cdots+U_r = \{u_1+u_2+\cdots+u_r;u_i \in U_i(i=1,2,\cdots,r)\} \tag{9} \end{eqnarray}
と定義する。


命題2
U_1+U_2+\cdots+U_rはVの部分空間である。

証明

U_1,U_2,\cdots,U_rはそれぞれVの部分空間より、それぞれVの零元\boldsymbol{0}を含む
よって、\boldsymbol{0} \in U_1+U_2+\cdots+U_r (\boldsymbol{0} \in V)


\alpha = u_1+u_2+\cdots+u_r \in U_1+U_2+\cdots+U_r , \beta = u_1'+u_2'+\cdots+u_r'
\in U_1+U_2+\cdots+U_rとする。そのとき、
\begin{eqnarray} \alpha + \beta = u_1+u_2+\cdots+u_r+u_1'+u_2'+\cdots+u_r'\\=u_1+u_1'+u_2+u_2'+\cdots+u_r+u_r'\tag{10} \end{eqnarray}
かつ、U_1,U_2,\cdots,U_rはそれぞれVの部分空間であるので、
\begin{eqnarray} u_1+u_1' \in U_1,u_2+u_2' \in U_2,\cdots , u_r+u_r' \in U_r \tag{11} \end{eqnarray}
となる。よって
\begin{eqnarray} \alpha + \beta \in U_1+U_2+\cdots+U_r \tag{12} \end{eqnarray}
が成り立つ。


\boldsymbol{u} = u_1 +u_2 +\cdots +u_r \in U_1+U_2+\cdots+U_r、c \in \mathbb{K}としたとき、
\begin{eqnarray} c\boldsymbol{u} = cu_1 + cu_2 + \cdots + cu_r \tag{13} \end{eqnarray}
であり、U_1,U_2,\cdots,U_rはそれぞれVの部分空間より、
\begin{eqnarray} cu_1 \in U_1 , cu_2 \in U_2 , \cdots , cu_r \in U_r \tag{14} \end{eqnarray}
が成り立つので、c\boldsymbol{u} \in U_1+U_2+\cdots+U_rである。
証明終


定義2
U_1+U_2+\cdots+U_rの任意の元\boldsymbol{u}は
\begin{eqnarray} \boldsymbol{u} = u_1 + u_2 + \cdots + u_r,u_i \in U_i (i=1,2,\cdots,r) \tag{15} \end{eqnarray}
の形に書かれるが、U_1+U_2+\cdots+U_rの任意の元\boldsymbol{u}の上式のような表し方が
一意的であるならば、この和を直和であるという。その場合U_1+U_2+\cdots+U_rを特別に
U_1\oplus U_2\oplus \cdots \oplus U_r
と表す。


ちょっとここまで書いて時間がやばくなってきたので続きは明日書こうと思います。
次はこの証明を書こうと思います。

命題3
Vをベクトル空間、U_1,U_2,\cdots,U_rをVの部分空間とするとき、
次の3つの条件は互いに同等である。
1.和U_1+U_2+\cdots+U_rは直和である。
2.任意のi(1\le i \le r)に対して
\begin{eqnarray} (U_1+\cdots+U_{i-1}+U_{i+1}+\cdots+U_r) \cap U_i =\{0\} \tag{16} \end{eqnarray}
3.任意のi(2 \le i \le r)に対して
\begin{eqnarray} (U_1+\cdots+U_{i-1}) \cap U_i =\{0\} \tag{17} \end{eqnarray}
すなわち、
U_1 \cap U_2=\{0\},(U_1+U_2) \cap U_3 ,\cdots,(U_1+\cdots+U_{r-1}) \cap U_r